Сферическая оболочка - NiNa.Az

Не следует путать с шаровым слоем и полноторием.

Сфери́ческий слой — понятие комплексного анализа, раздела математики, обобщение понятия кольца; область, заключённая между двумя концентрическими сферами (в двумерном пространстве — окружностями, получаем кольцо) различных радиусов.

Сферический слой в трёхмерном пространстве с внутренним радиусом ${\displaystyle r}$ и внешним радиусом ${\displaystyle R}$. Справа: две половины слоя

Устаревшие синонимы: сферическая оболочка; шаровой слой; шаровое кольцо.

Тонкий сферический слой может называться тонкостенной сферой.

Сферический слой представляет собой частный случай выпуклого слоя.

Определение сферического слоя

Сферический слой — точечное множество ${\displaystyle S}$ евклидова пространства ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}(w)}$ размерности ${\displaystyle n}$, которое можно определить как следующую разность двух концентрических шаров (в двумерном пространстве — кругов, получаем кольцо) с центром в точке ${\displaystyle a}$, где уменьшаемое — открытый шар, а вычитаемое — замкнутый шар:

${\displaystyle S=B(a,\,R)\setminus {\bar {B}}(a,\,r),\quad }$ ${\displaystyle 0<r<R}$,

или сразу как следующее обобщённое кольцо (в двумерном пространстве просто кольцо) с центром в начале координат:

${\displaystyle S=\{z\in \mathbb {E} ^{n}\colon \,r<|w|<R,\,0<r<R\}}$.

Пространство может быть комплексным, вещественным или их комбинацией.

В случае простейшего комплексно-вещественного пространства ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}(w)=\mathbb {C} \times \mathbb {R} (z,\,u)}$ сферический слой ${\displaystyle S}$ с центром в начале координат можно определить следующей формулой:

${\displaystyle S=\{(z,\,u)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} \colon \,r^{2}<|z|^{2}+u^{2}<R^{2}\}.}$

В случае трёхмерного вещественного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}(x,\,y,\,z)}$ сферический слой ${\displaystyle S}$ с центром в начале координат можно определить формулой

${\displaystyle S=\{(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,r^{2}<x^{2}+y^{2}+z^{2}<R^{2}\},}$

причём граница этого сферического слоя состоит из двух следующих сфер:

${\displaystyle S_{r}=\{(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\},}$

${\displaystyle S_{R}=\{(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\}.}$

Объём трёхмерного сферического слоя

Объём сферического слоя представляет собой разность объёмов областей евклидова пространства, заключённых внутри внешней и внутри внутренней сферы. В случае трёхмерного пространства ${\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}$ объём сферического слоя

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}-{\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {4}{3}}\pi (R^{3}-r^{3})}$,

где ${\displaystyle R}$ — радиус внешней сферы, ${\displaystyle r}$ — радиус внутренней сферы.

Случай тонкостенной сферы («Арбузная корка»). Имеется трёхмерная тонкостенная сфера с внутренним радиусом ${\displaystyle r}$, внешним радиусом ${\displaystyle R}$ и толщиной слоя ${\displaystyle \Delta r=R-r}$. Если ${\displaystyle \Delta r}$ очень мало, то есть ${\displaystyle \Delta r\ll r}$, то объём такой тонкостенной сферы приближённо равен ${\displaystyle 4\pi r^{2}\Delta r}$ или ${\displaystyle 4\pi R^{2}\Delta r}$. Другими словами, объём тонкостенной сферы приближённо равен произведению площади её внутренней или внешней сферы на толщину слоя.

Доказательство. Пусть ${\displaystyle R=r+\Delta r}$ (случай ${\displaystyle r=R-\Delta r}$ аналогичен) и выпишем с этой заменой величину объёма тонкостенной сферы, получим:

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi ((r+\Delta r)^{3}-r^{3})={\frac {4}{3}}\pi (r^{3}+3r^{2}\Delta r+3r(\Delta r)^{2}+(\Delta r)^{3}-r^{3})=}$

${\displaystyle ={\frac {4}{3}}\pi (3r^{2}\Delta r+3r(\Delta r)^{2}+(\Delta r)^{3})\approx 4\pi r^{2}\Delta r}$.

Примеры использования тонкостенной сферы

Пример 1. Толщина стенки ${\displaystyle h}$ резинового детского мяча радиуса ${\displaystyle R=25}$ см, плавающего на поверхности воды, причём под водой находится ${\displaystyle 5}$ % его объёма, плотность резины ${\displaystyle \rho =1{,}1}$ г/см${\displaystyle ^{3}}$, а плотность воды ${\displaystyle \rho _{0}=1}$ г/см${\displaystyle ^{3}}$, равна ${\displaystyle {\frac {\rho _{0}R}{60\rho }}\approx 4}$ мм.

Вывод формулы

Действительно, по закону Архимеда, на тело, погружённое в жидкость, действует выталкивающая сила, численно равная весу объёма жидкости, вытесненного телом. Эта выталкивающая сила уравновешивает вес мяча, приравняем их. Выталкивающая сила равна

${\displaystyle \rho _{0}{\frac {1}{20}}{\frac {4}{3}}\pi R^{3}g}$,

вес мяча равен

${\displaystyle \rho 4\pi R^{2}hg}$,

где ${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения, поэтому толщина стенки мяча равна

${\displaystyle h={\frac {\rho _{0}4\pi R^{3}g}{20\cdot 3\rho 4\pi R^{2}g}}={\frac {\rho _{0}R}{60\rho }}\approx 4}$ мм.

Пример 2 (МФТИ, 1991). Масса ${\displaystyle \,m_{\text{Г}}}$ гелия в лопнувшем при давлении ${\displaystyle p=1{,}1}$ атм резиновом шарике массой ${\displaystyle m=2}$ г, который надувался при температуре ${\displaystyle t=17}$ °C, причём резиновая плёнка рвётся при толщине ${\displaystyle \Delta =2\cdot 10^{-3}}$ см, плотность резины ${\displaystyle \rho =1{,}1}$ г/см${\displaystyle ^{3}}$, молярная масса гелия ${\displaystyle \mu =4}$ г/моль, универсальная газовая постоянная ${\displaystyle R=8{,}31}$ Дж/(моль·K), равна ${\displaystyle {\frac {1}{6{\sqrt {\pi }}}}{\frac {\mu p}{RT}}\left({\sqrt {\frac {m}{\rho \Delta }}}\right)^{3}\approx 0{,}47}$ г.

Вывод формулы

Действительно, рассмотрим уравнение состояния идеального газа для данного примера

${\displaystyle pV={\frac {m_{\text{Г}}}{\mu }}RT}$,

где ${\displaystyle V}$ — объём газа, ${\displaystyle T=t+273{,}15}$ К — термодинамическая температура. Сразу получаем выражение для искомой величины

${\displaystyle m_{\text{Г}}={\frac {\mu pV}{RT}}}$,

где ${\displaystyle V}$ — пока неизвестная величина. Объём газа

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$,

где ${\displaystyle r}$ — радиус шарика, который найдём из выражения для массы шарика ${\displaystyle m=\rho \Delta 4\pi r^{2}}$, имеем: ${\displaystyle r={\sqrt {\frac {m}{\rho \Delta 4\pi }}}}$. Собирая всё вместе, окончательно получаем и проводим расчёты в системе СИ:

${\displaystyle m_{\text{Г}}={\frac {1}{6{\sqrt {\pi }}}}{\frac {\mu p}{RT}}\left({\sqrt {\frac {m}{\rho \Delta }}}\right)^{3}\approx 0{,}47}$ г.

Пример 3 (МФТИ, 1997). Толщина ${\displaystyle h}$ слоя озона (O₃), если бы он собрался у поверхности Венеры, имея температуру и давление, равные температуре и давлению атмосферы у поверхности Венеры, причём его масса в атмосфере составляет ${\displaystyle \alpha =10^{-5}}$ % от массы всей атмосферы, у поверхности Венеры ускорение свободного падения ${\displaystyle g=8,2}$ м/с², а температура ${\displaystyle T=800}$ K, молярная масса озона ${\displaystyle \mu =48}$ г/моль, универсальная газовая постоянная ${\displaystyle R=8{,}31}$ Дж/(моль·K), равна ${\displaystyle {\frac {\alpha RT}{\mu g}}\approx 1{,}7}$ мм.

Вывод формулы

Действительно, рассмотрим уравнение состояния идеального газа для данного примера

${\displaystyle pV={\frac {\alpha M}{\mu }}RT}$,

где ${\displaystyle p}$ — давление на поверхности Венеры, ${\displaystyle V}$ — объём слоя озона, ${\displaystyle M}$ — масса атмосферы Венеры, ${\displaystyle \mu =48}$ г/моль — молярная масса озона. Пусть ${\displaystyle S}$ — площадь поверхности Венеры, тогда

${\displaystyle p\cdot V={\frac {Mg}{S}}\cdot Sh=Mgh}$,

и окончательно получаем и проводим расчёты в системе СИ:

${\displaystyle h={\frac {\alpha RT}{\mu g}}\approx 1{,}7}$ мм.

Пример 4. Момент инерции тонкостенной сферы. Для оси, проходящей через центр тонкостенной сферы массой ${\displaystyle m}$ и радиусом ${\displaystyle r}$, момент равен ${\displaystyle {\frac {2}{3}}mr^{2}}$.

Вывод формулы

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:

${\displaystyle J_{0}={\frac {2}{5}}MR^{2}={\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}.}$

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

${\displaystyle {\begin{aligned}J&={\frac {dJ_{0}}{dR}}dR={\frac {d}{dR}}\left({\frac {8}{15}}\pi \rho R^{5}\right)dR=\\&={\frac {8}{3}}\pi \rho R^{4}dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^{2}dR\right){\frac {2}{3}}R^{2}={\frac {2}{3}}mR^{2}.\end{aligned}}}$

Примеры использования сферического слоя любой толщины

Пример 5. Потенциал однородного сферического слоя

В силу радиальности и сферической симметрии из закона Гаусса следует, что поле вне сферического слоя во всем подобно полю точечного заряда, поле же внутри сферического слоя — нуль.

Примечания

1. Перевод на англ. см. в закладке «Обсуждение» статьи
2. Weisstein Eric W. Spherical Shell, 2025.
3. Яковлев И. В. Сферический слой, 2025.
4. Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck. Several Complex Variables, 2011, 1.9 Preview: analytic continuation…, p. 18.
5. Сборник задач по общему курсу физики. Электричество и магнетизм, 1977, 17, с. 7; 63, с. 14.
6. Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Мыльные пузыри, с. 91.
7. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Том II, 1981, 52.3. Формула Остроградского — Гаусса…, с. 285.
8. Асламазов Л. Г., Варламов А. А. Удивительная физика, 1987, Мыльные пузыри, с. 62.
9. Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных, 1951, Глава IV. Аналитическое расширение, с. 91.
10. Яковлев В. И. Классическая электродинамика. Часть 1 электричество и магнетизм, 2003, Пример 1.9, с. 56.
11. Примеры вычисления моментов инерции  (неопр.). StudFiles. Московский государственный технический университет им. H.Э.Баумана.
12. Однородно заряженный шар; заряженная сфера  (неопр.). all-fizika.

Источники

• , ^[англ.]. Удивительная физика. Предисл. А. А. Абрикосова. М.: «Наука», 1987. 159 c. (Библиотечка «Квант». Вып. 63.)
• Бохнер С., ^[англ.] Функции многих комплексных переменных / Пер. с англ. Б. А. Фукса. М.: «Издательство иностранной литературы», 1951. 300 с.: ил. [Salomon Bochner, William Ted Martin, Several Complex Variables. Princeton, 1948.]
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Том II. М.: «Высшая школа», 1981. 584 с.: ил.
• Сборник задач по общему курсу физики. Электричество и магнетизм. 4-е изд., перераб. и доп. Под ред. И. А. Яковлева. М.: «Наука», 1977. 272 с.: ил.
• Яковлев В. И. Классическая электродинамика. Часть 1 электричество и магнетизм: Учеб. пособие. Новосибирск: Новосиб. Ун-т, 2003. 267 с.: ил.
• Яковлев И. В. Сферический слой // Подготовка к олимпиадам, ДВИ и ЕГЭ по математике и физике Архивная копия от 5 июля 2024 на Wayback Machine
• , ^[англ.] The wonders of physics. Scientific Editor A. A. Abrikosov Jr. Translators A. A. Abrikosov Jr & D. Znamenski. Singapore · New Jersey · London · Hong Kong: World Scientific, 2001. [Асламазов Л. Г., Варламов А. А.. Удивительная физика. Предисл. А. А. Абрикосова. М.: «Наука», 1987. 159 c. (Библиотечка «Квант». Вып. 63.)]
• Salomon Bochner, ^[англ.] Several Complex Variables. Princeton: Princeton University Press, 1948. 216 p. [Бохнер С., Мартин У. Т. Функции многих комплексных переменных. Принстон: Издательство Принстонского университета, 1948.]
• ^[англ.], Jan Wiegerinck. Several Complex Variables. Amsterdam: University of Amsterdam, November 18, 2011. 260 p.
• Weisstein Eric W. Spherical Shell (англ.). Wolfram MathWorld. Wolfram Research (2025). Архивировано 24 марта 2025 года.