Число Ферма - NiNa.Az

Числа Ферма́ — числа вида ${\displaystyle F_{n}=2^{2^{n}}+1}$, где ${\displaystyle n\geqslant 0}$ (последовательность A000215 в OEIS).

При ${\displaystyle n\in \{0,1,2,3,4\}}$ числа Ферма простые и равны ${\displaystyle \ 3,\,5,\,17,\,257,\,65537;}$.

Пока других простых чисел Ферма не обнаружено, и неизвестно, существуют ли простые числа при n > 4 или же все прочие числа Ферма — составные.

История

Изучение чисел такого вида начал Ферма, который выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, когда тот нашёл разложение числа ${\displaystyle F_{5}}$ на простые сомножители:

${\displaystyle F_{5}=4294967297=641\cdot 6700417}$.

Во времена Ферма считалось верным утверждение, что если ${\displaystyle 2^{n}\equiv 2~({\text{mod}}~n)}$, то ${\displaystyle n}$ — простое, это утверждение оказалось неверным (был найден контрпример: ${\displaystyle n=341}$), по мнению Тадеуша Банахевича, именно это могло побудить Ферма выдвинуть свою гипотезу, так как утверждение ${\displaystyle 2^{F_{n}}\equiv 2~({\text{mod}}~F_{n})}$ верно при всех ${\displaystyle n}$.

Простые числа Ферма

На 2025 год известны 5 простых чисел Ферма — при ${\displaystyle n\in \{0,1,2,3,4\}\colon }$

${\displaystyle F_{0}=2^{2^{0}}+1=2^{1}+1=3;}$

${\displaystyle F_{1}=2^{2^{1}}+1=2^{2}+1=5;}$

${\displaystyle F_{2}=2^{2^{2}}+1=2^{4}+1=17;}$

${\displaystyle F_{3}=2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257;}$

${\displaystyle F_{4}=2^{2^{4}}+1=2^{16}+1=65537;}$

Существование других простых чисел Ферма является открытой проблемой. Известно, что ${\displaystyle F_{n}}$ являются составными при ${\displaystyle 5\leqslant n\leqslant 32}$.

Свойства

• Правильный ${\displaystyle n}$-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда ${\displaystyle n=2^{r}\cdot p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{k}}$ (${\displaystyle r=0,1,2,...}$), где ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}}$ — различные простые числа Ферма (теорема Гаусса — Ванцеля).
• Среди чисел вида ${\displaystyle 2^{n}+1}$ простыми могут быть только числа Ферма (то есть число n обязано быть степенью 2). Действительно, если у n есть нечётный делитель ${\displaystyle d>1}$ и ${\displaystyle n/d=m}$, то

${\displaystyle 2^{n}+1=(2^{m}+1)(1-2^{m}+2^{2m}-\cdots +2^{n-m}),}$

и поэтому ${\displaystyle 2^{n}+1}$ не является простым.

• Простоту некоторых чисел Ферма можно эффективно установить с помощью теста Пепина. Однако числа Ферма сильно растут, и этот тест был удачно применён только для 8 чисел, составность которых ранее не была доказана. По мнению Майера, Пападопулоса и Крэндалла, чтобы выполнить тесты Пепина на последующих числах Ферма, понадобится несколько десятилетий.
• Десятичная запись чисел Ферма, больших 5, оканчивается на 17, 37, 57 или 97.
• Каждый делитель числа ${\displaystyle F_{n}}$ при ${\displaystyle n>2}$ имеет вид ${\displaystyle k\cdot 2^{n+2}+1}$ (Эйлер, Люка, 1878).
• Числа Ферма растут очень быстро: 9-е число больше гугола, а 334-е число больше гуголплекса.

Разложение на простые

Всего по состоянию на 2025 год найдено 373 простых делителя чисел Ферма. Для 328 чисел Ферма доказано, что они составные, при этом для 2 из них (F₂₀ и F₂₄) до сих пор неизвестно ни одного делителя. Несколько новых делителей чисел Ферма находят каждый год.

Ниже приведено разложение чисел Ферма на простые сомножители, при ${\displaystyle n\in \{5,6,7,8,9\}\colon }$

${\displaystyle F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=(5\cdot 2^{5+2}+1)\cdot (52347\cdot 2^{5+2}+1)=641\cdot 6700417;}$

${\displaystyle F_{6}=2^{2^{6}}+1=2^{64}+1=18446744073709551617=(1071\cdot 2^{6+2}+1)\cdot (262814145745\cdot 2^{6+2}+1)=274177\cdot 67280421310721;}$

${\displaystyle {\begin{array}{lll}F_{7}=2^{2^{7}}+1=2^{128}+1&=&340282366920938463463374607431768211457=\\&=&(116\,503\,103\,764\,643\cdot 2^{7+2}+1)\cdot (11\,141\,971\,095\,088\,142\,685\cdot 2^{7+2}+1)=\\&=&59\,649\,589\,127\,497\,217\cdot 5\,704\,689\,200\,685\,129\,054\,721;\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{lll}F_{8}=2^{2^{8}}+1=2^{256}+1&=&115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937=\\&=&(3853149761\cdot 157\cdot 2^{8+3}+1)\cdot (1057372046781162536274034354686893329625329\cdot 31618624099079\cdot 13\cdot 7\cdot 5\cdot 3\cdot 2^{8+3}+1)=\\&=&1238926361552897\cdot 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321;\end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{lll}F_{9}=2^{2^{9}}+1=2^{512}+1&=&13407807929942597099574024998205846127479365820592393377723561443721764030073546976801874298166903427690031858186486050853753882811946569946433649006084097=\\&=&(37\cdot 2^{9+7}+1)\cdot (43226490359557706629\cdot 1143290228161321\cdot 82488781\cdot 47\cdot 19\cdot 2^{9+2}+1)\times \\&&\times (16975143302271505426897585653131126520182328037821729720833840187223\cdot 17338437577121\cdot 40644377\cdot 26813\cdot 1129\cdot 2^{9+2}+1)=\\&=&2424833\cdot 7455602825647884208337395736200454918783366342657\cdot 741640062627530801524787141901937474059940781097519023905821316144415759504705008092818711693940737.\end{array}}}$

Обобщённые числа Ферма

Обобщённое число Ферма — число вида ${\displaystyle a^{2^{n}}+b^{2^{n}}}$. Числа Ферма являются их частным случаем для ${\displaystyle a=2}$ и ${\displaystyle b=1.}$

См. также

• Число Мерсенна

Примечания

1. В. Серпинский. 250 задач по теории чисел. — Просвещение, 1968. Архивировано 30 июня 2011 года.
2. последовательность A019434 в OEIS
3. Richard E. Crandall, Ernst W. Mayer & Jason S. Papadopoulos (2003), The twenty-fourth Fermat number is composite Архивная копия от 8 октября 2014 на Wayback Machine (англ.)
4. Fermat factoring status  (неопр.). Дата обращения: 16 апреля 2019. Архивировано 10 февраля 2016 года.

Литература

• Golomb, S. W. (1963-01-01), On the sum of the reciprocals of the Fermat numbers and related irrationalities, Canadian Journal of Mathematics, 15: 475–478, doi:10.4153/CJM-1963-051-0
• Grytczuk, A.; Luca, F.; Wójtowicz, M. (2001), Another note on the greatest prime factors of Fermat numbers, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 25 (1): 111–115, doi:10.1007/s10012-001-0111-4 {{citation}}: Неизвестный параметр |lastauthoramp= игнорируется (|name-list-style= предлагается) (справка)
• Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory, Problem Books in Mathematics, vol. 1 (3rd ed.), New York: Springer Verlag, pp. A3, A12, B21, ISBN 978-0-387-20860-2
• Křížek, Michal; Luca, Florian; Somer, Lawrence (2001), 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, CMS books in mathematics, vol. 10, New York: Springer, ISBN 978-0-387-95332-8 {{citation}}: Неизвестный параметр |lastauthoramp= игнорируется (|name-list-style= предлагается) (справка) — This book contains an extensive list of references.
• Křížek, Michal; Luca, Florian; Somer, Lawrence (2002), On the convergence of series of reciprocals of primes related to the Fermat numbers (PDF), Journal of Number Theory, 97 (1): 95–112, doi:10.1006/jnth.2002.2782 {{citation}}: Неизвестный параметр |lastauthoramp= игнорируется (|name-list-style= предлагается) (справка)
• Luca, Florian (2000), The anti-social Fermat number, American Mathematical Monthly, 107 (2): 171–173, doi:10.2307/2589441, JSTOR 2589441
• (1996), The New Book of Prime Number Records (3rd ed.), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94457-9
• Robinson, Raphael M. (1954), Mersenne and Fermat Numbers, Proceedings of the American Mathematical Society, 5 (5): 842–846, doi:10.2307/2031878, JSTOR 2031878
• Yabuta, M. (2001), A simple proof of Carmichael's theorem on primitive divisors (PDF), Fibonacci Quarterly, 39: 439–443

Ссылки

• Леонид Дурман. Гонки по вертикали. Числа Ферма от Эйлера до наших дней: 1, 2, 3 // Компьютерра, 2001, № 393—395.
• TOP-20 Наибольших делителей чисел Ферма (англ.)
• Леонид Дурман, Luigi Morelli. Координирующий проект FERMATSEARCH (англ.)  (итал.)  (рус.)
• Wilfrid Keller. Prime Factors of Fermat Numbers (англ.)