Идеальная точка - NiNa.Az

Несобственная точка, идеальная точка, омега-точка или бесконечно удалённая точка — это ^[англ.] точка вне гиперболической плоскости или пространства. Если дана прямая l и точка P вне l, то проходящие через P прямые, справа и слева параллельные в пределе к прямой l, сходятся к l в идеальных точках.

Три идеальных треугольника в конформно-евклидовой модели, вершины являются идеальными точками

В отличие от проективного случая, идеальные точки образуют границу, а не подмногообразие. Таким образом, эти прямые не пересекаются в идеальной точке, и такие точки, хотя они ^[англ.], не принадлежат самому гиперболическому пространству.

Идеальные точки вместе образуют ^[англ.] или границу гиперболической геометрии. Например, единичная окружность образует абсолют Кэли дисковой модели Пуанкаре и дисковой модели Клейна. В это же время вещественная прямая образует абсолют Кэли модели полуплоскости.

Аксиома Паша и теорема о внешнем угле треугольника выполняются для омега-треугольника, который определяется двумя точками гиперболического пространства и омега-точкой.

Свойства

• Гиперболическое расстояние между идеальными точками и любой другой точкой или другой точкой равно бесконечности.
• Центры орициклов и орисфер являются идеальными точками. Два орицикла концентричны, когда они имеют один и тот же центр.

Многоугольники с идеальными вершинами

Идеальные треугольники

Основная статья: Идеальный треугольник

Если все вершины треугольника являются идеальными точками, треугольник является идеальным треугольником.

Идеальные треугольники имеют несколько интересных свойств:

• Все идеальные треугольники конгруэнтны.
• Внутренние углы идеального треугольника все равны нулю.
• Любой идеальный треугольник имеет бесконечный периметр.
• Любой идеальный треугольник имеет площадь ${\displaystyle \pi /-K}$, где K равно (отрицательной) кривизне плоскости.

Идеальные четырёхугольники

Если все вершины четырёхугольника являются идеальными точками, четырёхугольник является идеальным четырёхугольником.

В то время как все идеальные треугольники конгруэнтны, не все четырёхугольники конгруэнтны, диагонали могут пересекаться под разными углами, что приводит к неконгруэнтности четырёхугольников, при этом:

• Внутренние углы идеального четырёхугольника все равны нулю.
• Любой идеальный четырёхугольник имеет бесконечный периметр.
• Любой идеальный (выпуклый без пересечений) четырёхугольник имеет площадь ${\displaystyle 2\pi /-K}$, где K равно (отрицательной) кривизне плоскости.

Идеальный квадрат

Идеальный четырёхугольник, у которого две диагонали перпендикулярны образует идеальный квадрат.

Идеальный квадрат использовал Фердинанд Карл Швейкарт в его меморандуме, в которой он упоминает «астральную геометрию». Это была одна из первых публикаций, допускающих возможность гиперболической геометрии.

Идеальные n-угольники

Как n-угольники могут быть разделены на (n − 2) идеальных треугольников, и площадь многоугольника будет равна площади идеального треугольника, умноженной на (n − 2).

Представления в моделях гиперболической геометрии

В дисковой модели Кляйна и дисковой модели Пуанкаре гиперболической плоскости идеальными точками являются единичные окружности (для гиперболической плоскости) или единичная сфера (для пространств большей размерности), которые являются недостижимой границей гиперболического пространства.

Одна и та же гиперболическая прямая в дисковой модели Кляйна и дисковой модели Пуанкаре будет проходить через те же две идеальные точки.

Дисковая модель Клейна

Если даны две различные точки p и q в открытом единичном диске, единственная прямая, соединяющая их, пересекает единичную окружность в двух идеальных точках, a и b (предполагается, что точки идут в порядке a, p, q, b), так что |aq| > |ap| и |pb| > |qb|. Тогда гиперболическое расстояние между p и q выражается формулой

${\displaystyle d(p,q)={\frac {1}{2}}\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|}},}$

Дисковая модель Пуанкаре

Если заданы две различные точки p и q в открытом единичном диске, то единственная дуга окружности, ортогональная границе и соединяющая точки, пересекает единичную окружность в двух идеальных точках, a и b (предполагается, что точки идут в порядке a, p, q, b), так что |aq| > |ap| и |pb| > |qb|. Тогда гиперболическое расстояние между p и q выражается формулой

${\displaystyle d(p,q)=\log {\frac {\left|qa\right|\left|bp\right|}{\left|pa\right|\left|bq\right|}},}$

Здесь расстояние измеряется вдоль (прямых) отрезков aq, ap, pb и qb.

Модель полуплоскости Пуанкаре

В модели полуплоскости идеальные точки — это точки на граничной оси. Существует также другая идеальная точка, которая не принадлежит модели полуплоскости (но лучи, параллельные положительной полуоси y, приближаются к ней).

Гиперболическая модель

В гиперболоидной модели нет никаких несобственных точек.

См. также

• ^[англ.]
• Бесконечно удалённая точка для других геометрий.

Примечания

1. Комацу, 1981, с. 103-104.
2. Struve, Struve, 2010, с. 151–170.
3. Hvidsten, 2005, с. 276–283.
4. Thurston, 2012.
5. Bonola, 1955, с. 75–77.

Литература

• Мацуо Комацу. Многообразие геометрии. — М.: Знание, 1981.
• Thomas Q. Sibley. The geometric viewpoint : a survey of geometries. — Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1998. — С. 109. — ISBN 0-201-87450-4.
• Horst Struve, Rolf Struve. Non-euclidean geometries: the Cayley-Klein approach // Journal of Geometry. — 2010. — Т. 89, вып. 1. — ISSN 0047-2468. — doi:10.1007/s00022-010-0053-z.
• Michael Hvidsten. Geometry with Geometry Explorer. — New York, NY: McGraw-Hill, 2005. — ISBN 0-07-312990-9.
• Roberto Bonola. Non-Euclidean geometry : a critical and historical study of its developments. — New York, NY: Dover, 1955. — С. 75–77. — ISBN 0486600270.
• Dylan. 274 Curves on Surfaces, Lecture 5. — 2012.