Антиэрмитова матрица

Антиэрмитова матрица (косоэрмитова матрица) — квадратная матрица $A$ , эрмитово сопряжение которой меняет знак исходной матрицы:

A^{*}=-A

,

или поэлементно:

a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i}}}

,

где через ${\overline {x}}$ обозначено комплексное сопряжение числа $x$ .

Свойства

Матрица $B$ эрмитова тогда и только тогда, когда матрица $iB$ антиэрмитова. Отсюда следует, что если $A$ — антиэрмитова, то матрицы $\pm iA$ эрмитовы. Также любая антиэрмитова матрица $A$ может быть представлена в виде $A=iB$ , где $B$ — эрмитова. Таким образом, свойства антиэрмитовых матриц могут быть выражены при помощи свойств эрмитовых и наоборот.

Матрица $A$ антиэрмитова тогда и только тогда, когда $X^{*}A^{*}Y=-X^{*}AY$ для любых векторов $X$ и $Y$ (форма $X^{*}AY$ — антиэрмитова).

Антиэрмитовы матрицы замкнуты относительно сложения, умножения на вещественное число, возведения в нечётную степень, обращения (невырожденных матриц).

Антиэрмитовы матрицы являются нормальными.

Чётная степень антиэрмитовой матрицы является эрмитовой матрицей. В частности, если $A$ — антиэрмитова, то $A^{2}$ — эрмитова.

Собственные числа антиэрмитовой матрицы либо нулевые, либо чисто мнимые.

Любую квадратную матрицу можно представить как сумму эрмитовой и антиэрмитовой $M=M_{h}+M_{a}$ , где:

M_{h}={\frac {1}{2}}(M+M^{*})

— эрмитова,

M_{a}={\frac {1}{2}}(M-M^{*})

— антиэрмитова.

Матрица $A$ антиэрмитова тогда и только тогда, когда её экспонента $e^{A}$ унитарна.

Антиэрмитовы матрицы образуют алгебру Ли ${\mathfrak {u}}(n)$ группы Ли $U(n)$ .

Для любого комплексного числа $\lambda$ такого, что $|\lambda |=1$ , существует взаимно однозначное соответствие между унитарными матрицами $U$ , не имеющих собственных чисел равных $a$ , и антиэрмитовыми матрицами $A$ , задаваемое формулами Кэли: