Нормальная матрица - NiNa.Az

Нормальная матрица — комплексная квадратная матрица ${\displaystyle A}$, коммутирующая со своей эрмитово-сопряжённой матрицей:

${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}}$.

Для вещественной матрицы ${\displaystyle A}$ имеет место ${\displaystyle A^{*}=A^{T}}$, и поэтому она нормальна, если ${\displaystyle A^{T}A=AA^{T}}$.

Нормальность является удобным тестом приводимости к диагональной форме — матрица нормальна тогда и только тогда, когда она унитарно подобна диагональной матрице, а потому любая матрица ${\displaystyle A}$, удовлетворяющая уравнению ${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}}$, допускает приведение к диагональной форме. (Две матрицы ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называются унитарно подобными, если существует унитарная матрица ${\displaystyle S}$, для которой ${\displaystyle A=S^{-1}BS}$.)

Понятие нормальной матрицы можно распространить на нормальные операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах и нормальные элементы в C*-алгебрах.

Среди комплексных матриц все унитарные, эрмитовы и косоэрмитовы матрицы нормальны. Среди вещественных матриц все ортогональные, симметричные и кососимметричные матрицы нормальны. Однако неверно, что все нормальные матрицы либо унитарны, либо эрмитовы, либо косоэрмитовы. Например:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}}$

не является ни унитарной, ни эрмитовой, ни косоэрмитовой, хотя и нормальна, поскольку:

${\displaystyle AA^{*}={\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}}=A^{*}A}$.

Эквивалентные определения

Существует большой набор эквивалентных определений нормальной матрицы, в частности, следующие высказывания эквивалентны:

• ${\displaystyle A}$ нормальна;
• ${\displaystyle A}$ является ^[англ.] с помощью унитарной матрицы;
• все точки пространства можно получить как линейные комбинации некоторого набора ортонормальных собственных векторов матрицы ${\displaystyle A}$;
• ${\displaystyle \left\|Ax\right\|=\left\|A^{*}x\right\|}$ для любого ${\displaystyle x}$.
• норму Фробениуса матрицы ${\displaystyle A}$ можно вычислить по собственным значениям матрицы ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle \operatorname {tr} (A^{*}A)=\sum \nolimits _{j}|\lambda _{j}|^{2}}$;
• эрмитова часть ${\displaystyle (A+A^{*})/2}$ и косоэрмитова часть ${\displaystyle (A-A^{*})/2}$ матрицы ${\displaystyle A}$ коммутируют;
• ${\displaystyle A^{*}}$ является многочленом (степени менее ${\displaystyle n}$ — размера матрицы) от ${\displaystyle A}$;
• ${\displaystyle A^{*}=AU}$ для некоторой унитарной матрицы ${\displaystyle U}$.
• ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle P}$ коммутируют, где ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle P}$ представляют полярное разложение ${\displaystyle A=UP}$ на унитарную матрицу ${\displaystyle U}$ и некую положительно определённую матрицу ${\displaystyle P}$;
• ${\displaystyle A}$ коммутирует с некоторой нормальной матрицей ${\displaystyle N}$, имеющей различные собственные значения;
• ${\displaystyle \sigma _{i}=\left|\lambda _{i}\right|}$ для всех ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant n}$, где ${\displaystyle A}$ имеет сингулярные числа ${\displaystyle \sigma _{1}\geqslant \dots \geqslant \sigma _{n}}$ и собственные значения ${\displaystyle \left|\lambda _{1}\right|\geqslant \dots \geqslant \left|\lambda _{n}\right|}$
• операторная норма нормальной матрицы ${\displaystyle A}$ равна ^[англ.] и спектральному радиусу матрицы ${\displaystyle A}$; это означает:

  ${\displaystyle \sup _{\|x\|=1}\|Ax\|=\sup _{\|x\|=1}|\langle Ax,x\rangle |=\max\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (A)\}}$.

Многие из этих определений можно обобщить до нормальных операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах, но не все, например, ограниченный оператор, удовлетворяющий условию коммутируемости компонент полярного разложения, является в общем случае лишь ^[англ.].

Свойства

Нормальная треугольная матрица диагональна.

В общем случае сумма или произведение двух нормальных матриц не обязательно будет нормальной матрицей; однако если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ нормальны и выполнено ${\displaystyle AB=BA}$, то и ${\displaystyle AB}$, и ${\displaystyle A+B}$ также нормальны. Более того, существует унитарная матрица ${\displaystyle U}$, такая, что ${\displaystyle UAU^{*}}$ и ${\displaystyle UBU^{*}}$ диагональны. Другими словами, ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ ^[англ.].

В этом частном случае столбцы матрицы ${\displaystyle U^{*}}$ являются собственными векторами, как ${\displaystyle A}$, так и ${\displaystyle B}$, и образуют ортонормальный базис в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Утверждение следует из теорем, что над алгебраически замкнутым полем коммутирующие матрицы ^[англ.] и что нормальная матрица приводима к диагональной, в последнем случае с дополнением, что это можно сделать одновременно.

Связь со спектральной теоремой

Понятие нормальности важно, поскольку нормальные матрицы — это в точности те, которых касается спектральная теорема: матрица ${\displaystyle A}$ нормальна тогда и только тогда, когда существует диагональная матрица ${\displaystyle \Lambda }$ и унитарная матрица ${\displaystyle U}$, такие что ${\displaystyle A=U\Lambda U^{*}}$. Диагональные элементы матрицы ${\displaystyle \Lambda }$ являются собственными числами, а столбцы ${\displaystyle U}$ — собственными векторами матрицы ${\displaystyle A}$. (Собственные значения в ${\displaystyle \Lambda }$ идут в том же порядке, что и соответствующие им собственные вектора в ${\displaystyle U}$).

Другим способом высказать утверждение спектральной теоремы является утверждение, что нормальные матрицы — это в точности те матрицы, которые можно представить в виде диагональной матрицы путём выбора подходящего ортонормального базиса пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Также можно утверждать, что матрица нормальна тогда и только тогда, когда её собственное пространство совпадает с ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ и собственные вектора ортогональны по стандартному скалярному произведению в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

Спектральная теорема для нормальных матриц является специальным случаем более общего разложения Шура, которое выполняется для всех квадратных матриц. Пусть ${\displaystyle A}$ — квадратная матрица. Тогда, согласно разложению Шура, она унитарно подобна верхней треугольной матрице, скажем, ${\displaystyle B}$. Если ${\displaystyle A}$ нормальна, то и ${\displaystyle B}$ нормальна тоже. Но тогда ${\displaystyle B}$ должна быть диагональной по причине, изложенной выше.

Спектральная теорема позволяет классифицировать нормальные матрицы в терминах спектра, например:

• нормальная матрица унитарна тогда и только тогда, когда её спектр лежит на единичном круге комплексной плоскости;
• нормальная матрица является самосопряжённой тогда и только тогда, когда её спектр содержится в ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Аналогии

Можно рассматривать связи различных видов нормальных матриц как аналоги различных видов комплексных чисел:

• обратимые матрицы являются аналогом ненулевых комплексных чисел;
• эрмитово-сопряжённая матрица является аналогом сопряжённого числа;
• унитарные матрицы является аналогом комплексных чисел с абсолютной величиной ${\displaystyle 1}$;
• эрмитовы матрицы являются аналогами вещественных чисел;
• эрмитовы положительно определённые матрицы являются аналогами положительных вещественных чисел;
• антиэрмитовы матрицы являются аналогами чисто мнимых чисел.

Можно комплексные числа вложить в нормальные вещественные матрицы размера ${\displaystyle 2\times 2}$ путём отображения

${\displaystyle a+bi\mapsto {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}}$,

и при этом вложении сохраняются сложение и умножение и все соответствующие аналогии между видами нормальных матриц и видами комплексных чисел.

Примечания

1. Если ${\displaystyle A}$ нормальна, то можно использовать формулу интерполяции Лагранжа для построения многочлена ${\displaystyle P}$ , такого, что ${\displaystyle {\overline {\lambda _{j}}}=P(\lambda _{j})}$, где ${\displaystyle \lambda _{j}}$ — собственные значения матрицы ${\displaystyle A}$.
2. Horn, pp. 109
3. Roger A. Horn, Charles R. Johnson. Topics in Matrix Analysis. — Cambridge University Press, 1991. — С. 157. — ISBN 978-0-521-30587-7.

Ссылки

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6.