Функциональный анализ
Функциона́льный ана́лиз — раздел анализа, в котором изучаются бесконечномерные топологические векторные пространства и их отображения. Наиболее важными примерами таких пространств являются пространства функций (отсюда и произошло название «функциональный анализ»).
| Наука | |
| Функциональный анализ | |
|---|---|
 Медиафайлы на Викискладе |
В различных источниках в качестве разделов функционального анализа рассматриваются теория меры и интеграла, теория функций, теория операторов, дифференциальное исчисление на бесконечномерных пространствах. Во второй половине XX века функциональный анализ пополнился целым рядом более специальных разделов, построенных на базе классических.
Функциональный анализ находит применение во многих точных науках; многие важнейшие теоретические конструкции описаны языком функционального анализа. В частности, в начале XXI века функциональный анализ широко применяется в теории дифференциальных уравнений, математической физике, теоретической физике (в том числе, квантовой механике, теории струн), теории управления и оптимизации, теории вероятностей, математической статистике, теории случайных процессов и других областях. Теория преобразования Фурье, используемая во многих областях науки и техники (например, в теории обработки изображений), также может рассматриваться как часть функционального анализа.
Некоторые понятия функционального анализа
Например — пространства непрерывных функций, пространства интегрируемых функций. Важную роль играют такие понятия, как мера, метрика, норма, скалярное произведение. Для рассмотрения отображений пространств вводятся такие термины, как «оператор» и «функционал».
История
Развитие функционального анализа связано с изучением преобразования Фурье, дифференциальных и интегральных уравнений. Большой вклад в развитие и становление функционального анализа внёс польский математик Стефан Банах.
Изучение представления функций с помощью преобразования Фурье было привлекательно, к примеру, потому, что для определённых классов функций можно континуальный набор точек (значения функции) охарактеризовать счётным набором значений (набором коэффициентов).
Методы функционального анализа быстро приобрели популярность в различных областях математики и физики в качестве мощного инструмента. Значительную роль при этом сыграла теория линейных операторов:
Функциональный анализ за последние два десятилетия настолько разросся, настолько широко и глубоко проник почти во все области математики, что сейчас даже трудно определить самый предмет этой дисциплины. Однако в функциональном анализе есть несколько больших «традиционных» направлений, которые и поныне в значительной степени определяют его лицо. К их числу принадлежит и , которую иногда называют становым хребтом функционального анализа. Именно через теорию операторов функциональный анализ столкнулся с квантовой механикой, дифференциальными уравнениями, теорией вероятности, а также рядом прикладных дисциплин.Костюченко А. Г., предисловие редактора перевода к книге 1962 года
В конце 90-x годов XX в. в копилку функционального анализа добавилась тема, посвящённая вейвлет-преобразованиям. Эта тема пришла из практики как попытка построений новых базисов функциональных пространств, обладающих дополнительными свойствами, к примеру, хорошей скоростью сходимости приближений. Вклад в развитие внесла И. Добеши.
Ключевые результаты
- Принцип равномерной ограниченности применимый к набору операторов с точной границей.
- Принцип открытости отображения. Как её следствия — теорема Банаха об ограниченности линейного оператора, обратного биективному линейному ограниченному оператору, теорема о замкнутом графике.
- Теорема Хана — Банаха о расширении функционала с подпространства на полное пространство, расширенное с сохранением нормы. Суть нетривиальный смысл в сопряжённых пространствах.
- Одна из спектральных теорем (которых в действительности больше чем одна), дающая интегральную формулу для нормального оператора в Гильбертовом пространстве. Это теорема центральной важности для математического обоснования квантовой механики.
- Теорема Гельфанда — Наймарка
- Теорема Рисса — Фреше
Направления исследований
Функциональный анализ в его современном состоянии включает следующие ветви:
- Мягкий анализ. Аппроксимация для анализа, основанного на топологических группах, топологических кольцах и топологических векторных пространствах.
- Геометрия банаховых пространств.
- Некоммутативная геометрия. Разработана Аленом Конном, частично построена на аппроксимации Джорджа Маки (George Mackey) в эргодической теории.
- Теория изображений. Связана с квантовой механикой.
- Квантовый функциональный анализ. Исследование пространств операторов вместо пространств функций.
- Нелинейный функциональный анализ. Исследование нелинейных задач, бифуркаций, устойчивости гладких отображений, деформаций особенностей и др. в рамках функционального анализа.
См. также
Примечания
- На самом деле, любое линейное пространство, в том числе и конечномерное, может быть реализовано как пространство функций. Сделать это можно несколькими способами. Например, линейное пространство линейно изоморфно множеству функций на базисе Гамеля этого пространства (или любого равномощного ему множества), отличных от нуля лишь на конечном числе точек. Другой вариант: вложим линейное пространство V в его второе алгебраически сопряженное, то есть в пространство всех линейных функционалов над пространством всех линейных функционалов над V.
- Линник, Анна Борисовна, Тимченко, Галина Николаевна. История развития функционального анализа // Вестник Нац. техн. ун-та "ХПИ" : сб. науч. тр.. — Харьков, 2011. — № 20. — С. 79. Архивировано 12 мая 2018 года.
- Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. — М.: ИЛ, 1962. — Т. 1.Общая теория. — С. 5—6.
Литература
- Банах С. Теория линейных операций. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. ISBN 5-93972-031-5.
- Березанский Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функциональный анализ. Курс лекций. Киев. Высшая школа. 1990. 600 с.
- Богачёв В. И., Смолянов О. Г. Действительный и функциональный анализ. Университетский курс. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. — 724 с. ISBN 978-5-93972-742-6.
- Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. I: Общая теория. — М.: ИЛ, 1962.
- Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. II: Спектральная теория. — М.: Мир, 1966.
- Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Т. III: Спектральные операторы. — М.: Мир, 1974.
- Иосида К. Функциональный анализ. Пер. с англ. — М.: Мир, 1967. — 624 с.
- Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
- Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 2-е изд. М.: Наука, 1965. 520 c.
- Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу = Topics in nonlinear functional analysis. — М.: Мир, 1977. — 232 с.
- О возникновении и развитии функционального анализа. Сб. статей. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1973. — № 18. — С. 13—103.
- Пугачёв В. С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. — 744с.
- Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 358 c.
- Рудин У. Функциональный анализ = Functional analysis. — М.: Мир, 1975. — 443 с.
- Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 496 с.
- Функциональный анализ / редактор Крейн С. Г.. — 2-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1972. — 544 с. — (Справочная математическая библиотека).
- Хелемский A. Я. Лекции по функциональному анализу. М.: МЦНМО, 2009. — 304с.
- Хелемский A. Я. Квантовый функциональный анализ в бескоординатном изложении. М.: МЦНМО, 2004. — 552с.
- Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962. 830 с.
- Сборник задач по функциональному анализу : учеб.-метод. пос. для студ. мех.-матем. факультета / А. П. Гуревич, В. В. Корнев, А. П. Хромов; Саратовский ГУ им. Н. Г. Чернышевского. — Саратов : Изд-во СГУ, 2009. — 162 с. : ил.; ISBN 978-5-292-03915-0
- Брудно А. Л. Теория функций действительного переменного. — М.: Наука, 1971. — 119 с.
- Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.
- Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. — М.: Наука, 1967. — 510 с.
- Функциональные пространства : уч. пос. для вузов : рек. Учеб.-метод. советом МФТИ / Г. Н. Яковлев ; Минобр РФ, МФТИ (ГУ). — М. : МФТИ, 2000 .— 136 с. — 500 экз. — ISBN 5-7417-0144-2.
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер, Информация о Функциональный анализ, Что такое Функциональный анализ? Что означает Функциональный анализ?
Termin Analiz imeet takzhe drugie znacheniya Funkciona lnyj ana liz razdel analiza v kotorom izuchayutsya beskonechnomernye topologicheskie vektornye prostranstva i ih otobrazheniya Naibolee vazhnymi primerami takih prostranstv yavlyayutsya prostranstva funkcij otsyuda i proizoshlo nazvanie funkcionalnyj analiz NaukaFunkcionalnyj analiz Mediafajly na Vikisklade V razlichnyh istochnikah v kachestve razdelov funkcionalnogo analiza rassmatrivayutsya teoriya mery i integrala teoriya funkcij teoriya operatorov differencialnoe ischislenie na beskonechnomernyh prostranstvah Vo vtoroj polovine XX veka funkcionalnyj analiz popolnilsya celym ryadom bolee specialnyh razdelov postroennyh na baze klassicheskih Funkcionalnyj analiz nahodit primenenie vo mnogih tochnyh naukah mnogie vazhnejshie teoreticheskie konstrukcii opisany yazykom funkcionalnogo analiza V chastnosti v nachale XXI veka funkcionalnyj analiz shiroko primenyaetsya v teorii differencialnyh uravnenij matematicheskoj fizike teoreticheskoj fizike v tom chisle kvantovoj mehanike teorii strun teorii upravleniya i optimizacii teorii veroyatnostej matematicheskoj statistike teorii sluchajnyh processov i drugih oblastyah Teoriya preobrazovaniya Fure ispolzuemaya vo mnogih oblastyah nauki i tehniki naprimer v teorii obrabotki izobrazhenij takzhe mozhet rassmatrivatsya kak chast funkcionalnogo analiza Nekotorye ponyatiya funkcionalnogo analizaNaprimer prostranstva nepreryvnyh funkcij prostranstva integriruemyh funkcij Vazhnuyu rol igrayut takie ponyatiya kak mera metrika norma skalyarnoe proizvedenie Dlya rassmotreniya otobrazhenij prostranstv vvodyatsya takie terminy kak operator i funkcional IstoriyaRazvitie funkcionalnogo analiza svyazano s izucheniem preobrazovaniya Fure differencialnyh i integralnyh uravnenij Bolshoj vklad v razvitie i stanovlenie funkcionalnogo analiza vnyos polskij matematik Stefan Banah Izuchenie predstavleniya funkcij s pomoshyu preobrazovaniya Fure bylo privlekatelno k primeru potomu chto dlya opredelyonnyh klassov funkcij mozhno kontinualnyj nabor tochek znacheniya funkcii oharakterizovat schyotnym naborom znachenij naborom koefficientov Metody funkcionalnogo analiza bystro priobreli populyarnost v razlichnyh oblastyah matematiki i fiziki v kachestve moshnogo instrumenta Znachitelnuyu rol pri etom sygrala teoriya linejnyh operatorov Funkcionalnyj analiz za poslednie dva desyatiletiya nastolko razrossya nastolko shiroko i gluboko pronik pochti vo vse oblasti matematiki chto sejchas dazhe trudno opredelit samyj predmet etoj discipliny Odnako v funkcionalnom analize est neskolko bolshih tradicionnyh napravlenij kotorye i ponyne v znachitelnoj stepeni opredelyayut ego lico K ih chislu prinadlezhit i kotoruyu inogda nazyvayut stanovym hrebtom funkcionalnogo analiza Imenno cherez teoriyu operatorov funkcionalnyj analiz stolknulsya s kvantovoj mehanikoj differencialnymi uravneniyami teoriej veroyatnosti a takzhe ryadom prikladnyh disciplin Kostyuchenko A G predislovie redaktora perevoda k knige 1962 goda V konce 90 x godov XX v v kopilku funkcionalnogo analiza dobavilas tema posvyashyonnaya vejvlet preobrazovaniyam Eta tema prishla iz praktiki kak popytka postroenij novyh bazisov funkcionalnyh prostranstv obladayushih dopolnitelnymi svojstvami k primeru horoshej skorostyu shodimosti priblizhenij Vklad v razvitie vnesla I Dobeshi Klyuchevye rezultatyPrincip ravnomernoj ogranichennosti primenimyj k naboru operatorov s tochnoj granicej Princip otkrytosti otobrazheniya Kak eyo sledstviya teorema Banaha ob ogranichennosti linejnogo operatora obratnogo biektivnomu linejnomu ogranichennomu operatoru teorema o zamknutom grafike Teorema Hana Banaha o rasshirenii funkcionala s podprostranstva na polnoe prostranstvo rasshirennoe s sohraneniem normy Sut netrivialnyj smysl v sopryazhyonnyh prostranstvah Odna iz spektralnyh teorem kotoryh v dejstvitelnosti bolshe chem odna dayushaya integralnuyu formulu dlya normalnogo operatora v Gilbertovom prostranstve Eto teorema centralnoj vazhnosti dlya matematicheskogo obosnovaniya kvantovoj mehaniki Teorema Gelfanda Najmarka Teorema Rissa FresheNapravleniya issledovanijFunkcionalnyj analiz v ego sovremennom sostoyanii vklyuchaet sleduyushie vetvi Myagkij analiz Approksimaciya dlya analiza osnovannogo na topologicheskih gruppah topologicheskih kolcah i topologicheskih vektornyh prostranstvah Geometriya banahovyh prostranstv Nekommutativnaya geometriya Razrabotana Alenom Konnom chastichno postroena na approksimacii Dzhordzha Maki George Mackey v ergodicheskoj teorii Teoriya izobrazhenij Svyazana s kvantovoj mehanikoj Kvantovyj funkcionalnyj analiz Issledovanie prostranstv operatorov vmesto prostranstv funkcij Nelinejnyj funkcionalnyj analiz Issledovanie nelinejnyh zadach bifurkacij ustojchivosti gladkih otobrazhenij deformacij osobennostej i dr v ramkah funkcionalnogo analiza Sm takzheOperatornaya algebra Vektornoe ischisleniePrimechaniyaNa samom dele lyuboe linejnoe prostranstvo v tom chisle i konechnomernoe mozhet byt realizovano kak prostranstvo funkcij Sdelat eto mozhno neskolkimi sposobami Naprimer linejnoe prostranstvo linejno izomorfno mnozhestvu funkcij na bazise Gamelya etogo prostranstva ili lyubogo ravnomoshnogo emu mnozhestva otlichnyh ot nulya lish na konechnom chisle tochek Drugoj variant vlozhim linejnoe prostranstvo V v ego vtoroe algebraicheski sopryazhennoe to est v prostranstvo vseh linejnyh funkcionalov nad prostranstvom vseh linejnyh funkcionalov nad V Linnik Anna Borisovna Timchenko Galina Nikolaevna Istoriya razvitiya funkcionalnogo analiza rus Vestnik Nac tehn un ta HPI sb nauch tr Harkov 2011 20 S 79 Arhivirovano 12 maya 2018 goda Danford N Shvarc Dzh Linejnye operatory M IL 1962 T 1 Obshaya teoriya S 5 6 LiteraturaBanah S Teoriya linejnyh operacij Izhevsk NIC Regulyarnaya i haoticheskaya dinamika 2001 ISBN 5 93972 031 5 Berezanskij Yu M Us G F Sheftel Z G Funkcionalnyj analiz Kurs lekcij Kiev Vysshaya shkola 1990 600 s Bogachyov V I Smolyanov O G Dejstvitelnyj i funkcionalnyj analiz Universitetskij kurs NIC Regulyarnaya i haoticheskaya dinamika Institut kompyuternyh issledovanij 2009 724 s ISBN 978 5 93972 742 6 Danford N Shvarc Dzh T Linejnye operatory T I Obshaya teoriya M IL 1962 Danford N Shvarc Dzh T Linejnye operatory T II Spektralnaya teoriya M Mir 1966 Danford N Shvarc Dzh T Linejnye operatory T III Spektralnye operatory M Mir 1974 Iosida K Funkcionalnyj analiz Per s angl M Mir 1967 624 s Kantorovich L V Akilov G P Funkcionalnyj analiz M Nauka 1984 Kolmogorov A N Fomin S V Elementy teorii funkcij i funkcionalnogo analiza izd chetvyortoe pererabotannoe M Nauka 1976 544 s Lyusternik L A Sobolev V I Elementy funkcionalnogo analiza 2 e izd M Nauka 1965 520 c Nirenberg L Lekcii po nelinejnomu funkcionalnomu analizu Topics in nonlinear functional analysis M Mir 1977 232 s O vozniknovenii i razvitii funkcionalnogo analiza Sb statej Istoriko matematicheskie issledovaniya M Nauka 1973 18 S 13 103 Pugachyov V S Lekcii po funkcionalnomu analizu M Izd vo MAI 1996 744s Rid M Sajmon B Metody sovremennoj matematicheskoj fiziki Tom 1 Funkcionalnyj analiz M Mir 1977 358 c Rudin U Funkcionalnyj analiz Functional analysis M Mir 1975 443 s Trenogin V A Funkcionalnyj analiz M Nauka 1980 496 s Funkcionalnyj analiz redaktor Krejn S G 2 e pererabotannoe i dopolnennoe M Nauka 1972 544 s Spravochnaya matematicheskaya biblioteka Helemskij A Ya Lekcii po funkcionalnomu analizu M MCNMO 2009 304s Helemskij A Ya Kvantovyj funkcionalnyj analiz v beskoordinatnom izlozhenii M MCNMO 2004 552s Hille E Fillips R Funkcionalnyj analiz i polugruppy M IL 1962 830 s Sbornik zadach po funkcionalnomu analizu ucheb metod pos dlya stud meh matem fakulteta A P Gurevich V V Kornev A P Hromov Saratovskij GU im N G Chernyshevskogo Saratov Izd vo SGU 2009 162 s il ISBN 978 5 292 03915 0 Brudno A L Teoriya funkcij dejstvitelnogo peremennogo M Nauka 1971 119 s Funkcionalnyj analiz M Prosveshenie 1979 128 s Levi P Konkretnye problemy funkcionalnogo analiza M Nauka 1967 510 s Funkcionalnye prostranstva uch pos dlya vuzov rek Ucheb metod sovetom MFTI G N Yakovlev Minobr RF MFTI GU M MFTI 2000 136 s 500 ekz ISBN 5 7417 0144 2
