Разбиение множества - NiNa.Az

У этого термина существуют и другие значения, см. Разбиение.

Разбие́ние множества — представление множества ${\displaystyle X}$ в виде объединения произвольного количества попарно непересекающихся непустых подмножеств: ${\displaystyle X=\textstyle \biguplus _{\alpha \in A}U_{\alpha }}$. Множества ${\displaystyle U_{\alpha }}$ в этом случае называются блоками или частями разбиения.

Разбиение множества.

Разбиения конечных множеств, а также подсчёт количества различных разбиений, удовлетворяющих тем или иным условиям, представляет особый интерес в комбинаторике. В частности, некоторые комбинаторные функции естественно возникают как количества разбиений того или иного вида. Например, числа Стирлинга второго рода представляют собой количество неупорядоченных разбиений ${\displaystyle n}$-элементного множества на ${\displaystyle m}$ частей, в то время как мультиноминальный коэффициент выражает количество упорядоченных разбиений ${\displaystyle n}$-элементного множества на ${\displaystyle m}$ частей. Количество всех неупорядоченных разбиений ${\displaystyle n}$-элементного множества задаётся числом Белла ${\displaystyle B_{n}}$. Например, множество из трёх элементов ${\displaystyle \{a,b,c\}}$ может быть разбито пятью способами: ${\displaystyle \{\{a,b,c\}\}}$, ${\displaystyle \{\{a\},\{b,c\}\}}$, ${\displaystyle \{\{b\},\{a,c\}\}}$, ${\displaystyle \{\{c\},\{a,b\}\}}$, ${\displaystyle \{\{a\},\{b\},\{c\}\}}$ — значит, число Белла ${\displaystyle B(3)=5}$.

Примеры разбиений бесконечных множеств: множество целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ разбивается на раздельную сумму множеств чётных чисел ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ и нечётных чисел ${\displaystyle 2\mathbb {Z} +1}$; множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ может быть представлено в виде раздельного объединения счётного числа полуинтервалов ${\displaystyle \mathbb {R} =\textstyle \biguplus _{n\in \mathbb {Z} }[n,n+1)}$.

Основополагающую роль разбиения играют в комбинаторной геометрии: задачи замощения и разбиения тела на составные части, в частности, опровергнутая гипотеза Борсука (существует ли разбиение тела конечного единичного диаметра в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве разбить на не более чем ${\displaystyle n+1}$ частей так, что диаметр каждой части будет меньше 1) оказали решающее влияние на развитие направления.

Также разбиения широко применяются в теории вероятностей, в частности, разбиения вероятностного пространства — полные группы событий.

Литература

• Разбиение (1) — статья из Математической энциклопедии. П. С. Солтан
• Разбиение (2) — статья из Математической энциклопедии. М. И. Войцеховский