Теорема котангенсов - NiNa.Az

Теорема котангенсов — тригонометрическая теорема, связывающая радиус вписанной окружности треугольника с длиной его сторон. Теорему котангенсов удобно использовать при решении треугольника по трём сторонам.

Общий вид треугольника

Формулировка

Пусть

${\displaystyle a,b,c}$ — длины трёх сторон треугольника,

${\displaystyle A,B,C}$ — углы, лежащие напротив, соответственно, сторон ${\displaystyle a,b,c}$,

${\displaystyle r}$ — радиус вписанной окружности треугольника и

${\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}$ — полупериметр треугольника.

Тогда справедливы следующие формулы:

${\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {A}{2}}={\frac {p-a}{r}}}$,

${\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {B}{2}}={\frac {p-b}{r}}}$,

${\displaystyle \mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}={\frac {p-c}{r}}}$,

или эквивалентно:

${\displaystyle {\frac {p-a}{\mathrm {ctg} (A/2)}}={\frac {p-b}{\mathrm {ctg} (B/2)}}={\frac {p-c}{\mathrm {ctg} (C/2)}}=r}$.

Словами теорему можно сформулировать так: котангенс половинного угла равен разности отношения полупериметра и длины противолежащей стороны указанного угла к радиусу вписанной окружности.

Обобщение

В сферической тригонометрии существует похожая формула для половины угла, а также двойственная к ней формула половины стороны.

Следствия

Из теоремы котангенсов может быть получено выражение для радиуса вписанной окружности ${\displaystyle r={\sqrt {{\frac {1}{p}}(p-a)(p-b)(p-c)}}}$. Далее, так как площадь треугольника ${\displaystyle S=pr}$, из теоремы котангенсов следует формула Герона.

См. также

• Теорема косинусов
• Теорема о проекциях
• Теорема синусов
• Теорема тангенсов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формулы Мольвейде

Примечания

1. The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.

См. также

• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции