Решение треугольников - NiNa.Az

Исторический термин «решение треугольников» (лат. solutio triangulorum) обозначает решение следующей тригонометрической задачи: найти остальные стороны и/или углы треугольника по уже известным. Существуют также обобщения этой задачи на случай, когда заданы другие элементы треугольника (например, медианы, биссектрисы, высоты, площадь и т. д.), а также на случай, когда треугольник располагается не на евклидовой плоскости, а на сфере (сферический треугольник), на гиперболической плоскости (гиперболический треугольник) и т. п. Данная задача часто встречается в тригонометрических приложениях — например, в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.

Решение плоских треугольников

Стандартные обозначения в треугольнике

У треугольника общего вида имеется 6 основных элементов: 3 линейные (длины сторон ${\displaystyle a,b,c}$) и 3 угловые (${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$). Сторону, противолежащую углу при вершине, традиционно обозначают той же буквой, что и эта вершина, но не заглавной, а строчной (см. рисунок). В классической задаче плоской тригонометрии заданы 3 из этих 6 характеристик, и нужно определить 3 остальные. Очевидно, если известны только 2 или 3 угла, однозначного решения не получится, так как любой треугольник, подобный данному, тоже будет решением, поэтому далее предполагается, что хотя бы одна из известных величин — линейная.

Алгоритм решения задачи зависит от того, какие именно характеристики треугольника считаются известными. Поскольку вариант «заданы три угла» исключён из рассмотрения, остаются 5 различных вариантов:

• три стороны;
• две стороны и угол между ними;
• две стороны и угол напротив одной из них;
• сторона и два прилежащих угла;
• сторона, противолежащий угол и один из прилежащих.

Основные теоремы

Стандартным методом решения задачи является использование нескольких фундаментальных соотношений, выполняющихся для всех плоских треугольников:

Теорема косинусов

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }$

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta }$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma }$

Теорема синусов

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$

Сумма углов треугольника

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}$

Из других иногда полезных на практике универсальных соотношений следует упомянуть теорему тангенсов, теорему котангенсов, теорему о проекциях и формулы Мольвейде.

Замечания

1. Для нахождения неизвестного угла надёжнее использовать теорему косинусов, а не синусов, потому что значение синуса угла при вершине треугольника не определяет однозначно самого угла, поскольку смежные углы имеют один и тот же синус. Например, если ${\displaystyle \sin \beta =0{,}5,}$ то угол ${\displaystyle \beta }$ может быть как ${\displaystyle 30^{\circ }}$, так и ${\displaystyle 150^{\circ }}$, потому что синусы этих углов совпадают. Исключением является случай, когда заранее известно, что в данном треугольнике тупых углов быть не может — например, если треугольник прямоугольный. С косинусом такие проблемы не возникают: в интервале от ${\displaystyle 0^{\circ }}$ до ${\displaystyle 180^{\circ }}$ значение косинуса определяет угол однозначно.
2. При построении треугольников важно помнить, что зеркальное отражение построенного треугольника тоже будет решением задачи. Например, три стороны однозначно определяют треугольник с точностью до отражения.
3. Все треугольники подразумеваются невырожденными, то есть длина стороны не может быть нулевой, а величина угла — положительное число, меньшее, чем ${\displaystyle 180^{\circ }}$.

Заданы три стороны

Три стороны

Пусть заданы длины всех трёх сторон ${\displaystyle a,b,c}$. Условие разрешимости задачи — выполнение неравенства треугольника, то есть каждая длина должна быть меньше, чем сумма двух других длин:

${\displaystyle a<b+c,\quad b<a+c,\quad c<a+b.}$

Чтобы найти углы ${\displaystyle \alpha ,\beta }$, надо воспользоваться теоремой косинусов:

${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}},\quad \beta =\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.}$

Третий угол сразу находится из правила, что сумма всех трёх углов должна быть равна ${\displaystyle 180^{\circ }\colon }$

${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-(\alpha +\beta ).}$

Не рекомендуется второй угол находить по теореме синусов, потому что, как указано в замечании 1, существует опасность спутать тупой угол с острым. Этой опасности не возникнет, если первым определить, по теореме косинусов, наибольший угол (он лежит против наибольшей из сторон) — два других угла точно являются острыми, и применение к ним теоремы синусов безопасно.

Ещё один метод вычисления углов по известным сторонам — использование теоремы котангенсов.

Заданы две стороны и угол между ними

Две стороны и угол между ними

Пусть для определённости известны длины сторон ${\displaystyle a,b}$ и угол ${\displaystyle \gamma }$ между ними. Этот вариант задачи всегда имеет единственное решение. Для определения длины стороны ${\displaystyle c}$ применяется теорема косинусов:

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}.}$

Фактически задача сведена к предыдущему случаю. Далее ещё раз применяется теорема косинусов для нахождения второго угла:

${\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}=\arccos {\frac {b-a\cos \gamma }{\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}}.}$

Третий угол находится из теоремы о сумме углов треугольника: ${\displaystyle \beta =180^{\circ }-\alpha -\gamma }$.

Заданы две стороны и угол не между ними

Две стороны и угол напротив одной из них

В этом случае решений может быть два, одно или ни одного. Пусть известны две стороны ${\displaystyle b,c}$ и угол ${\displaystyle \beta }$. Тогда уравнение для угла ${\displaystyle \gamma }$ находится из теоремы синусов:

${\displaystyle \sin \gamma ={\frac {c}{b}}\sin \beta .}$

Для краткости обозначим ${\displaystyle D={\frac {c}{b}}\sin \beta }$ (правая часть уравнения). Это число всегда положительно. При решении уравнения возможны 4 случая, во многом зависящие от D.

1. Задача не имеет решения (сторона ${\displaystyle b}$ «не достаёт» до линии ${\displaystyle BC}$) в двух случаях: если ${\displaystyle D>1}$ или если угол ${\displaystyle \beta \geqslant 90^{\circ }}$ и при этом ${\displaystyle b\leqslant c.}$
2. Если ${\displaystyle D=1,}$ существует единственное решение, причём треугольник прямоугольный: ${\displaystyle \gamma =\arcsin D=90^{\circ }.}$

Два возможных решения

1. Если ${\displaystyle b\geqslant c}$, то ${\displaystyle \beta \geqslant \gamma }$ (большей стороне треугольника соответствует больший противолежащий угол). Поскольку в треугольнике не может быть двух тупых углов, тупой угол для ${\displaystyle \gamma }$ исключён и решение ${\displaystyle \gamma =\arcsin D}$ единственно.

Третий угол определяется по формуле ${\displaystyle \alpha =180^{\circ }-\beta -\gamma }$. Третью сторону можно найти по теореме синусов:

${\displaystyle a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}}$

В данном случае заданы сторона и прилежащие к ней углы. Аналогичные рассуждения имеют смысл, даже если один из известных углов противоположен стороне.

Сторона и два угла

Пусть задана сторона ${\displaystyle c}$ и два угла. Эта задача имеет единственное решение, если сумма двух углов меньше ${\displaystyle 180^{\circ }}$. В противном случае задача решения не имеет.

Вначале определяется третий угол. Например, если даны углы ${\displaystyle \alpha ,\beta }$, то ${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-\alpha -\beta }$. Далее обе неизвестные стороны находятся по теореме синусов:

${\displaystyle a=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma }},\quad b=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma }}.}$

Решение прямоугольных треугольников

Прямоугольный треугольник

В этом случае известен один из углов — он равен 90°. Необходимо знать ещё два элемента, хотя бы один из которых — сторона. Возможны следующие случаи:

• два катета;
• катет и гипотенуза;
• катет и прилежащий острый угол;
• катет и противолежащий острый угол;
• гипотенуза и острый угол.

Вершину прямого угла традиционно обозначают буквой ${\displaystyle C}$, гипотенузу — ${\displaystyle c}$. Катеты обозначаются ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, а величины противолежащих им углов — ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ соответственно.

Расчётные формулы существенно упрощаются, так как вместо теорем синусов и косинусов можно использовать более простые соотношения — теорему Пифагора:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

и определения основных тригонометрических функций:

${\displaystyle \sin \alpha =\cos \beta ={\frac {a}{c}},\quad \cos \alpha =\sin \beta ={\frac {b}{c}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha =\operatorname {ctg} \beta ={\frac {a}{b}},\quad \operatorname {ctg} \alpha =\operatorname {tg} \beta ={\frac {b}{a}}.}$

Ясно также, что углы ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ — острые, так как их сумма равна ${\displaystyle 90^{\circ }}$. Поэтому любой из неизвестных углов однозначно определяется по любой из его тригонометрических функций (синусу, косинусу, тангенсу и др.) путём вычисления соответствующей обратной тригонометрической функции.

При корректной постановке задачи (если заданы гипотенуза и катет, то катет должен быть меньше гипотенузы; если задан один из двух непрямых углов, то он должен быть острый) решение всегда существует и единственно.

Два катета

Гипотенуза находится по теореме Пифагора:

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Углы могут быть найдены с использованием функции арктангенса:

${\displaystyle \alpha =\operatorname {arctg} {\frac {a}{b}},\quad \beta =\operatorname {arctg} {\frac {b}{a}}}$

или же по только что найденной гипотенузе:

${\displaystyle \alpha =\arcsin {\frac {a}{c}}=\arccos {\frac {b}{c}},\quad \beta =\arcsin {\frac {b}{c}}=\arccos {\frac {a}{c}}.}$

Катет и гипотенуза

Пусть известны катет ${\displaystyle b}$ и гипотенуза ${\displaystyle c}$ — тогда катет ${\displaystyle a}$ находится из теоремы Пифагора:

${\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}.}$

После этого углы определяются аналогично предыдущему случаю.

Катет и прилежащий острый угол

Пусть известны катет ${\displaystyle b}$ и прилежащий к нему угол ${\displaystyle \alpha }$.

Гипотенуза ${\displaystyle c}$ находится из соотношения

${\displaystyle c={\frac {b}{\cos \alpha }}.}$

Катет ${\displaystyle a}$ может быть найден либо по теореме Пифагора аналогично предыдущему случаю, либо из соотношения

${\displaystyle a=b\ \mathrm {tg} \,\alpha .}$

Острый угол ${\displaystyle \beta }$ может быть найден как

${\displaystyle \beta =90^{\circ }-\alpha .}$

Катет и противолежащий острый угол

Пусть известны катет ${\displaystyle b}$ и противолежащий ему угол ${\displaystyle \beta }$.

Гипотенуза ${\displaystyle c}$ находится из соотношения

${\displaystyle c={\frac {b}{\sin \beta }}.}$

Катет ${\displaystyle a}$ и второй острый угол ${\displaystyle \alpha }$ могут быть найдены аналогично предыдущему случаю.

Гипотенуза и острый угол

Пусть известны гипотенуза ${\displaystyle c}$ и острый угол ${\displaystyle \beta }$.

Острый угол ${\displaystyle \alpha }$ может быть найден как

${\displaystyle \alpha =90^{\circ }-\beta .}$

Катеты определяются из соотношений

${\displaystyle a=c\sin \alpha =c\cos \beta ,}$

${\displaystyle b=c\sin \beta =c\cos \alpha .}$

Решение сферических треугольников

Сферический треугольник

Стороны сферического треугольника ${\displaystyle a,b,c}$ измеряют величиной опирающихся на них центральных углов

Сферический треугольник общего вида полностью определяется тремя из шести своих характеристик (3 стороны и 3 угла). Стороны сферического треугольника ${\displaystyle a,b,c}$ принято измерять не линейными единицами, а величиной опирающихся на них центральных углов.

Решение треугольников в сферической геометрии имеет ряд отличий от плоского случая. Например, сумма трёх углов ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma }$ зависит от треугольника; кроме того, на сфере не существует неравных подобных треугольников, и поэтому задача построения треугольника по трём углам имеет единственное решение. Но основные соотношения: две сферические теоремы косинусов и сферическая теорема синусов, — используемые для решения задачи, аналогичны плоскому случаю.

Из других соотношений могут оказаться полезными формулы аналогии Непера и формула половины стороны.

Заданы три стороны

Три стороны

Если даны (в угловых единицах) стороны ${\displaystyle a,b,c}$, то углы треугольника определяются из теоремы косинусов:

${\displaystyle \alpha =\arccos \left({\frac {\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c}}\right)}$,

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}}\right)}$,

${\displaystyle \gamma =\arccos \left({\frac {\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b}}\right)}$,

Заданы две стороны и угол между ними

Две стороны и угол между ними

Пусть заданы стороны ${\displaystyle a,b}$ и угол ${\displaystyle \gamma }$ между ними. Сторона ${\displaystyle c}$ находится по теореме косинусов:

${\displaystyle c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right)}$

Углы ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ можно найти так же, как в предыдущем случае, можно также использовать формулы аналогии Непера:

${\displaystyle \alpha =\operatorname {arctg} \ {\frac {2\sin a}{\operatorname {tg} ({\frac {\gamma }{2}})\sin(b+a)+\operatorname {ctg} ({\frac {\gamma }{2}})\sin(b-a)}},}$

${\displaystyle \beta =\operatorname {arctg} \ {\frac {2\sin b}{\operatorname {tg} ({\frac {\gamma }{2}})\sin(a+b)+\operatorname {ctg} ({\frac {\gamma }{2}})\sin(a-b)}}.}$

Заданы две стороны и угол не между ними

Две стороны и угол не между ними

Пусть заданы стороны ${\displaystyle b,c}$ и угол ${\displaystyle \beta }$. Чтобы решение существовало, необходимо выполнение условия:

${\displaystyle b>\arcsin(\sin c\,\sin \beta ).}$

Угол ${\displaystyle \gamma }$ получается из теоремы синусов:

${\displaystyle \gamma =\arcsin \left({\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b}}\right).}$

Здесь, аналогично плоскому случаю, при ${\displaystyle b<c}$ получаются два решения: ${\displaystyle \gamma }$ и ${\displaystyle 180^{\circ }-\gamma }$.

Остальные величины можно найти из формул аналогии Непера:

${\displaystyle a=2\operatorname {arctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2}}(b-c)\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(\beta +\gamma )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right)}}\right\}}$,

${\displaystyle \alpha =2\operatorname {arcctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(b+c)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(b-c)\right)}}\right\}}$.

Заданы сторона и прилежащие углы

Сторона и прилежащие углы

В этом варианте задана сторона ${\displaystyle c}$ и углы ${\displaystyle \alpha ,\beta }$. Угол ${\displaystyle \gamma }$ определяется по теореме косинусов:

${\displaystyle \gamma =\arccos(\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta ).}$

Две неизвестные стороны получаются из формул аналогии Непера:

${\displaystyle a=\operatorname {arctg} \left\{{\frac {2\sin \alpha }{\operatorname {ctg} (c/2)\sin(\beta +\alpha )+\operatorname {tg} (c/2)\sin(\beta -\alpha )}}\right\}}$

${\displaystyle b=\operatorname {arctg} \left\{{\frac {2\sin \beta }{\operatorname {ctg} (c/2)\sin(\alpha +\beta )+\operatorname {tg} (c/2)\sin(\alpha -\beta )}}\right\}}$

или, если использовать вычисленный угол ${\displaystyle \gamma }$, по теореме косинусов:

${\displaystyle a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right),}$

${\displaystyle b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right).}$

Заданы два угла и сторона не между ними

Два угла и сторона не между ними

В отличие от плоского аналога данная задача может иметь несколько решений.

Пусть заданы сторона ${\displaystyle a}$ и углы ${\displaystyle \alpha ,\beta }$. Сторона ${\displaystyle b}$ определяется по теореме синусов:

${\displaystyle b=\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).}$

Если угол для стороны ${\displaystyle a}$ острый и ${\displaystyle \alpha >\beta }$, существует второе решение:

${\displaystyle b=\pi -\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).}$

Остальные величины определяются из формул аналогии Непера:

${\displaystyle c=2\operatorname {arctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2}}(a-b)\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)}}\right\}.}$

${\displaystyle \gamma =2\operatorname {arcctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(a+b)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(a-b)\right)}}\right\}.}$

Заданы три угла

Три угла

Если заданы три угла, стороны находятся по теореме косинусов:

${\displaystyle a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right)}$,

${\displaystyle b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right)}$,

${\displaystyle c=\arccos \left({\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}\right)}$.

Другой вариант: использование формулы половины угла.

Решение прямоугольных сферических треугольников

Изложенные алгоритмы значительно упрощаются, если известно, что один из углов треугольника (например, угол ${\displaystyle C}$) прямой. Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера или из нижеприведённых соотношений:

${\displaystyle \sin a=\sin c\cdot \sin \alpha =\operatorname {tg} b\cdot \operatorname {ctg} \beta ,}$

${\displaystyle \sin b=\sin c\cdot \sin \beta =\operatorname {tg} a\cdot \operatorname {ctg} \alpha ,}$

${\displaystyle \cos c=\cos a\cdot \cos b=\operatorname {ctg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \beta ,}$

${\displaystyle \operatorname {tg} a=\sin b\cdot \operatorname {tg} \alpha ,}$

${\displaystyle \operatorname {tg} b=\operatorname {tg} c\cdot \cos \alpha ,}$

${\displaystyle \cos \alpha =\cos a\cdot \sin \beta =\operatorname {tg} b\cdot \operatorname {ctg} c,}$

${\displaystyle \cos \beta =\cos b\cdot \sin \alpha =\operatorname {tg} a\cdot \operatorname {ctg} c.}$

Вариации и обобщения

Во многих практически важных задачах вместо сторон треугольника задаются другие его характеристики — например, длина медианы, высоты, биссектрисы, радиус вписанного или описанного круга и т. д. Аналогично вместо углов при вершинах треугольника в задаче могут фигурировать иные углы. Алгоритмы решения подобных задач чаще всего комбинируются из рассмотренных выше теорем тригонометрии.

Примеры:

• Задача Региомонтана: построить треугольник, если известны одна его сторона, длина опущенной на неё высоты и противолежащий угол.
• Задача Снеллиуса-Потенота.
• Задача Томаса Финке: найти углы треугольника, если известна сумма двух углов ${\displaystyle \alpha +\beta }$ и отношение противолежащих сторон ${\displaystyle a:b}$.
• Задача Ньютона: решить треугольник, если известны одна его сторона, противолежащий угол и сумма двух других сторон.

Примеры практического применения

Триангуляция

Определение расстояния с помощью триангуляции

Основная статья: Триангуляция (геодезия)

Чтобы определить расстояние ${\displaystyle d}$ от берега до недоступной точки — например, до удалённого корабля,— нужно отметить на берегу две точки, расстояние ${\displaystyle l}$ между которыми известно, и измерить углы ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ между линией, соединяющей эти точки, и направлением на корабль. Из формул варианта «сторона и два угла» можно найти длину высоты треугольника:

${\displaystyle d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )}}\,l={\frac {\operatorname {tg} \alpha \,\operatorname {tg} \beta }{\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta }}\,l}$

Этот метод используется в каботажном судоходстве. Углы ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ при этом оцениваются наблюдениями с корабля известных ориентиров на земле. Аналогичная схема используется в астрономии, чтобы определить расстояние до близкой звезды: измеряются углы наблюдения этой звезды с противоположных точек земной орбиты (то есть с интервалом в полгода) и по их разности (параллаксу) вычисляют искомое расстояние.

Определение высоты горы

Другой пример: требуется измерить высоту ${\displaystyle h}$ горы или высокого здания. Известны углы ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ наблюдения вершины из двух точек, расположенных на расстоянии ${\displaystyle l}$. Из формул того же варианта, что и выше, получается:

${\displaystyle h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\beta -\alpha )}}\,l={\frac {\operatorname {tg} \alpha \,\operatorname {tg} \beta }{\operatorname {tg} \beta -\operatorname {tg} \alpha }}\,l}$

Расстояние между двумя точками на поверхности земного шара

Надо вычислить расстояние между двумя точками на земном шаре:

Точка ${\displaystyle A}$: широта ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {A} },}$ долгота ${\displaystyle L_{\mathrm {A} },}$

Точка ${\displaystyle B}$: широта ${\displaystyle \lambda _{\mathrm {B} },}$ долгота ${\displaystyle L_{\mathrm {B} },}$

Для сферического треугольника ${\displaystyle ABC}$, где ${\displaystyle C}$ — северный полюс, известны следующие величины:

${\displaystyle a=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {B} }}$

${\displaystyle b=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {A} }}$

${\displaystyle \gamma =L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }}$

Это случай «две стороны и угол между ними». Из приведенных выше формул получается:

${\displaystyle \mathrm {AB} =R\arccos \left\{\sin \lambda _{\mathrm {A} }\,\sin \lambda _{\mathrm {B} }+\cos \lambda _{\mathrm {A} }\,\cos \lambda _{\mathrm {B} }\,\cos \left(L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }\right)\right\}}$,

где ${\displaystyle R}$ — радиус Земли.

История

Основная статья: История тригонометрии

Зачатки тригонометрических знаний можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.

Общая постановка задачи решения треугольников (как плоских, так и сферических) появилась в древнегреческой геометрии. Во второй книге «Начал» Евклида теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов для тупоугольных треугольников:

В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше [суммы] квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле.

Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Аналога теоремы синусов у греков не было, это важнейшее открытие было сделано гораздо позднее: древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике», написанной в XIII веке.

Первые тригонометрические таблицы составил, вероятно, Гиппарх в середине II века до н. э. для астрономических расчётов. Позднее астроном II века Клавдий Птолемей в «Альмагесте» дополнил результаты Гиппарха. Первая книга «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. В частности, «Альмагест» содержит обширные тригонометрические таблицы хорд для острых и тупых углов, с шагом 30 угловых минут. В таблицах Птолемей приводит значение длин хорд с точностью до трех шестидесятиричных знаков. Такая точность примерно соответствует пятизначной десятичной таблице синусов с шагом 15 угловых минут.

Птолемей явно не формулирует теорему синусов и косинусов для треугольников. Тем не менее он всегда справляется с задачей решения треугольников, разбивая треугольник на два прямоугольных.

Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию. Решающим этапом в развитии теории стала монография «Сферика» в трёх книгах, которую написал Менелай Александрийский (около 100 года н. э.). В первой книге он изложил теоремы о сферических треугольниках, аналогичные теоремам Евклида о плоских треугольниках (см. I книгу «Начал»). По сообщению Паппа, Менелай первым ввёл понятие сферического треугольника как фигуры, образованной отрезками больших кругов. Несколько десятилетий спустя Клавдий Птолемей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике.

В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометров. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен. В частности, индийцы первыми ввели в использование косинус. Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов ${\displaystyle \sin n\varphi }$, ${\displaystyle \cos n\varphi }$ для ${\displaystyle n=2,3,4,5}$. В «Сурья-сиддханте» и в трудах Брахмагупты при решении задач фактически используется сферический вариант теоремы синусов, однако общая формулировка этой теоремы в Индии так и не появилась.

В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались «зиджи»; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теории. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век), которые рассмотрели, наряду с известными ещё индийцам синусом и косинусом, новые тригонометрические функции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс.

Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X века. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольника. Сферическая теорема косинусов в общем виде сформулирована в странах ислама не была, однако в трудах Сабита ибн Курры, ал-Баттани и других астрономов имеются эквивалентные ей утверждения.

Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году. Его «Трактат о полном четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси — например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём углам. Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, необходимые для эффективного решения треугольников.

В Европе развитие тригонометрической теории стало чрезвычайно важным в Новое время, в первую очередь для артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. В 1551 году появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10". Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций. Среди других открытий Непера — эффективный алгоритм решения сферических треугольников, получивший название «формулы аналогии Непера». Алгебраизация тригонометрии, начатая Франсуа Виетом, была завершена Леонардом Эйлером в XVIII веке, после чего алгоритмы решения треугольников приобрели современный вид.

См. также

• Признаки подобия треугольников
• Площадь треугольника
• Сферическая тригонометрия
• Сферический треугольник
• Триангуляция
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формулы Мольвейде

Примечания

1. Выгодский М. Я., 1978, с. 266—268.
2. Плоский треугольник иногда называют прямолинейным.
3. Элементарная математика, 1976, с. 487.
4. Solving Triangles  (неопр.). Maths is Fun. Дата обращения: 23 Jule 2012. Архивировано 30 июня 2019 года.
5. Элементарная математика, 1976, с. 488.
6. Степанов Н. Н., 1948, с. 133.
7. Solving SSS Triangles  (неопр.). Maths is Fun. Дата обращения: 23 Jule 2012. Архивировано 30 сентября 2012 года.
8. Solving SAS Triangles  (неопр.). Maths is Fun. Дата обращения: 24 Jule 2012. Архивировано 30 сентября 2012 года.
9. Solving SSA Triangles  (неопр.). Maths is Fun. Дата обращения: 24 Jule 2012). Архивировано 30 сентября 2012 года.
10. Выгодский М. Я., 1978, с. 294.
11. Элементарная математика, 1976, с. 493—496.
12. Solving ASA Triangles  (неопр.). Maths is Fun. Дата обращения: 24 Jule 2012. Архивировано 30 сентября 2012 года.
13. Степанов Н. Н., 1948, с. 87—90.
14. Степанов Н. Н., 1948, с. 102—104.
15. Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 545.
16. Степанов Н. Н., 1948, с. 121—128.
17. Степанов Н. Н., 1948, с. 115—121.
18. Степанов Н. Н., 1948, с. 128—133.
19. Степанов Н. Н., 1948, с. 104—108.
20. Основные формулы физики, 1957, с. 14—15.
21. Цейтен Г. Г., 1932, с. 223—224.
22. Цейтен Г. Г., 1938, с. 126—127.
23. Геометрия: 7—9 классы, 2009, с. 260—261.
24. Геометрия: 7—9 классы, 2009, с. 260.
25. Степанов Н. Н., 1948, с. 136—137.
26. van der Waerden, Bartel Leendert. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. — Springer, 1983. — ISBN 3-540-12159-5.
27. Глейзер Г. И., 1982, с. 77.
28. Глейзер Г. И., 1982, с. 94—95.
29. Матвиевская Г. П., 2012, с. 92—96.
30. Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook (англ.). — Princeton University Press, 2007. — P. 518. — ISBN 9780691114859.
31. История математики, том I, 1970, с. 143.
32. Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Наука, 1959. — С. 366. — 456 с. Архивировано 27 марта 2009 года.
33. Матвиевская Г. П., 2012, с. 25—27.
34. Матвиевская Г. П., 2012, с. 33—36.
35. Матвиевская Г. П., 2012, с. 40—44.
36. Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П., 1978, с. 79.
37. Юшкевич А. П. История математики в Средние века. — М.: ГИФМЛ, 1961. — С. 160. — 448 с.
38. Матвиевская Г. П., 2012, с. 51—55.
39. Матвиевская Г. П., 2012, с. 111.
40. Матвиевская Г. П., 2012, с. 96—98.
41. Туси Насирэддин. Трактат о полном четырёхстороннике. Баку, Изд. АН АзССР, 1952.
42. Рыбников К. А., 1960, с. 105.
43. История математики, том I, 1970, с. 320.
44. Степанов Н. Н. § 42. Формулы «аналогии Непера» // Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — С. 87—90. — 154 с.

Литература

Теория и алгоритмы

• Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И. Геометрия: 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. — 19-е изд. — М.: Просвещение, 2009. — 384 с. — ISBN 978-5-09-021136-9.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
• Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия, учебник для 10 класса. — М.: МЦНМО, 2002. — ISBN 5-94057-050-X.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Мензел Д. (ред.). Основные формулы физики. Глава 1. Основные математические формулы. — М.: Изд. иностранной литературы, 1957. — 658 с.
• Основные понятия сферической геометрии и тригонометрии // Энциклопедия элементарной математики (в 5 томах). — М.: Физматгиз, 1963. — Т. 4. — С. 518—557. — 568 с.
• Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948.

История

• Глейзер Г. И. История математики в школе. VII-VIII классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1982. — С. 76—95. — 240 с.
• Глейзер Г. И. История математики в школе. IX-X классы. Пособие для учителей. — М.: Просвещение, 1983. — 352 с.
• История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука.
  • История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. I.
  • Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
  • Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
• Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии: Древняя Греция. Средневековый Восток. Позднее Средневековье. — Изд. 2-е. — М.: Либроком, 2012. — 160 с. — (Физико-математическое наследие: математика (история математики)). — ISBN 978-5-397-02777-9.
• Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1960. — Т. I.
• Сираждинов С. Х., Матвиевская Г. П. Абу Райхан Беруни и его математические труды. Пособие для учащихся. — М.: Просвещение, 1978. — 95 с. — (Люди науки).
• Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. — М.—Л.: ГТТИ, 1932. — 230 с.
• Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках. — М.—Л.: ОНТИ, 1938. — 456 с.